题目内容
3.若一个正实数能写成$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$(n∈N*)的形式,则称其为“兄弟数”,求证:(1)若x为“兄弟数”,则x2也为“兄弟数”;
(2)若x为“兄弟数”,k是给定的正奇数,则xk也为“兄弟数”.
分析 (1)x=$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$,x2=2n+1+2$\sqrt{{n}^{2}+n}$=$\sqrt{4{n}^{2}+4n+1}$+$\sqrt{4{n}^{2}+4n}$,可得结论;
(2)设x=$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$,y=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$,则xy=1,证明xk=$\sqrt{{a}^{2}(n+1)}$+$\sqrt{{b}^{2}n}$,即可证明xk也为“兄弟数”.
解答 证明:(1)x为“兄弟数”,则x=$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$,
x2=2n+1+2$\sqrt{{n}^{2}+n}$=$\sqrt{4{n}^{2}+4n+1}$+$\sqrt{4{n}^{2}+4n}$,
∴x2也为“兄弟数”;
(2)设x=$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$,y=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$,则xy=1,
xk=$\sum_{i=0}^{k}$Cki($\sqrt{n+1}$)k-i($\sqrt{n}$)i,yk=$\sum_{i=0}^{k}$Cki($\sqrt{n+1}$)k-i(-$\sqrt{n}$)i,
∴xk+yk=$\sum_{i=0}^{k}$Cki($\sqrt{n+1}$)k-i($\sqrt{n}$)i+$\sum_{i=0}^{k}$Cki($\sqrt{n+1}$)k-i(-$\sqrt{n}$)i
=2[Ck0($\sqrt{n+1}$)k+Ck2($\sqrt{n+1}$)k-2n+…+Ckk-1$\sqrt{n+1}$$•{n}^{\frac{k-1}{2}}$].
不妨记xk+yk=2a$\sqrt{n+1}$,
同理xk-yk=2b$\sqrt{n}$,
∴xk=$\sqrt{{a}^{2}(n+1)}$+$\sqrt{{b}^{2}n}$,
∵4a2(n+1)-4b2n=(xk+yk)2-(xk-yk)2=4xkyk=4,
∴a2(n+1)=b2n+1
∴xk也为“兄弟数”.
点评 本题考查新定义,考查学生分析解决问题的能力,正确理解新定义是关键.