题目内容
已知抛物线.
(1)若圆心在抛物线上的动圆,大小随位置而变化,但总是与直线
相切,求所有的圆都经过的定点坐标;
(2)抛物线的焦点为
,若过
点的直线与抛物线相交于
两点,若
,求直线
的斜率;
(3)若过正半轴上
点的直线与该抛物线交于
两点,
为抛物线上异于
的任意一点,记
连线的斜率为
试求满足
成等差数列的充要条件.
(1);(2)
;(3)直线
与
轴相垂直
解析试题分析:(1)本题考查抛物线的定义,由于直线是已知抛物线的的准线,而圆心在抛物线上的圆既然与准线相切,则它必定过抛物线的焦点,所以所有的圆必过抛物线的焦点,即定点
;(2)这是直线与抛物线相交问题,设如设
,
,则
,两式相减有
,则
,下面就是要求
或
,为此,我们设直线
方程为
,把它与抛物线方程联立方程组,消去
,就可得到关于
的方程,可得
,
,只是里面含有
,这里解题的关键就是已知条件
怎样用?实际上有这个条件可得
,这样与刚才的
,
合起来就能求出
;(3)设
,
成等差数列即
,仿照(2)此式为
①,由于直线
可能与
轴垂直,但不会与
轴垂直,设直线
的方程为
,代入抛物线方程消去
得关于
的二次方程,可得
,这样①式可化为
,从而得到
,即直线
的方程为
,与
轴垂直.
试题解析:(1) 由定义可得定点(1,0);(4分)
(2)设,由
,得
(5分)
由方程组,得
得(7分)联立上述方程求得:
.(9分)
(3)(理)设直线的方程为
,代入
,得:
,设
,则
(11分)
若,即
有,即:
由此得:,
,
(15分)
所以当直线的方程为
时,也就是
成立的充要条件是直线
与
轴相垂直。(16分)
考点:(1)抛物线的定义;(2)直线和与抛物线相交与向量的应用;(3)圆锥曲线综
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