题目内容

已知抛物线
(1)若圆心在抛物线上的动圆,大小随位置而变化,但总是与直线相切,求所有的圆都经过的定点坐标;
(2)抛物线的焦点为,若过点的直线与抛物线相交于两点,若,求直线的斜率;
(3)若过正半轴上点的直线与该抛物线交于两点,为抛物线上异于的任意一点,记连线的斜率为试求满足成等差数列的充要条件.

(1);(2);(3)直线轴相垂直

解析试题分析:(1)本题考查抛物线的定义,由于直线是已知抛物线的的准线,而圆心在抛物线上的圆既然与准线相切,则它必定过抛物线的焦点,所以所有的圆必过抛物线的焦点,即定点;(2)这是直线与抛物线相交问题,设如设,则,两式相减有,则,下面就是要求,为此,我们设直线方程为,把它与抛物线方程联立方程组,消去,就可得到关于的方程,可得,只是里面含有,这里解题的关键就是已知条件怎样用?实际上有这个条件可得,这样与刚才的合起来就能求出;(3)设成等差数列即,仿照(2)此式为①,由于直线可能与轴垂直,但不会与轴垂直,设直线的方程为,代入抛物线方程消去得关于的二次方程,可得,这样①式可化为,从而得到,即直线的方程为,与轴垂直.
试题解析:(1) 由定义可得定点(1,0);(4分)
(2)设,由,得(5分)
由方程组,得
(7分)联立上述方程求得:.(9分)
(3)(理)设直线的方程为,代入,得:,设,则(11分)

,即
,即:
由此得:(15分)
所以当直线的方程为时,也就是成立的充要条件是直线轴相垂直。(16分)
考点:(1)抛物线的定义;(2)直线和与抛物线相交与向量的应用;(3)圆锥曲线综

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