题目内容
【题目】设函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)当时,试判断
零点的个数;
(Ⅲ)当时,若对
,都有
(
)成立,求
的最大值.
【答案】(1)当时,
的单减区间为
;当
时,
的单减区间为
,单增区间为
;(2)两个;(3)0.
【解析】
(1)求出,分两种情况讨论
的范围,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(2)当
时,由(1)可知,
在
是单减函数,在
是单增函数,由
,
,利用零点存在定理可得结果;(3)当
,
为整数,且当
时,
恒成立,
,利用导数求出
的取值范围,从而可得结果.
(1),
.
当时,
在
恒成立,
在
是单减函数.
当时,令
,解之得
.
从而,当变化时,
,
随
的变化情况如下表:
| | | |
| - | 0 | + |
| 单调递减 | 单调递增 |
由上表中可知,在
是单减函数,在
是单增函数.
综上,当时,
的单减区间为
;
当时,
的单减区间为
,单增区间为
.
(2)当时,由(1)可知,
在
是单减函数,在
是单增函数;
又,
,
.
,
;
故在
有两个零点.
(3)当,
为整数,且当
时,
恒成立
.
令,只需
;
又,
由(2)知,在
有且仅有一个实数根
,
在
上单减,在
上单增;
又,
,
,
且
,
即代入
式,得
.
而在
为增函数,
,
即.
而,
,
即所求
的最大值为0.
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