Question

【题目】已知数列{an}满足an+1=λan+2n（n∈N* ， λ∈R），且a1=2．
（1）若λ=1，求数列{an}的通项公式；
（2）若λ=2，证明数列{ }是等差数列，并求数列{an}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当λ=1时，an+1=an+2n（n∈N*），且a1=2．

∴ ，

∴an=a1+a2﹣a1+a3﹣a2++an﹣an﹣1

=2+2+22++2n﹣1

=2+

=2n．

（2）证明：当λ=2时，an+1=2an+2n（n∈N*），且a1=2．

∴ ，即 = ，

∵ ，∴数列{ }是首项为1，公差为 的等差数列，

∴ = ，

∴an=（ ）2n=（n+1）2n﹣1，

∴数列{an}的前n项和：

Sn=220+32+422++（n+1）2n﹣1，①

2Sn=22+322+423++（n+1）2n，②

②﹣①，得：

Sn=（n+1）2n﹣2﹣（2+22+23++2n﹣1）

=（n+1）2n﹣2﹣

=（n+1）2n﹣2﹣2n+2

=n2n．

【解析】（1）当λ=1时， ，由此利用累加法能求出数列{an}的通项公式．（2）当λ=2时， = ，再由 ，能证明数列{ }是首项为1，公差为 的等差数列，从而an=（ ）2n=（n+1）2n﹣1，由此利用错位相减法能出数列{an}的前n项和．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．