题目内容
【题目】如图,矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图,点E在AB上,在梯形BCDE区域内部展示文物,DE是玻璃幕墙,游客只能在△ADE区域内参观,在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头,∠MPN为监控角,其中M、N在线段DE(含端点)上,且点M在点N的右下方,经测量得知:AD=6米,AE=6米,AP=2米,∠MPN= ,记∠EPM=θ(弧度),监控摄像头的可视区域△PMN的面积为S平方米.
(1)求S关于θ的函数关系式,并写出θ的取值范围:(参考数据:tan ≈3)
(2)求S的最小值.
【答案】
(1)解:在△PME中,∠EPM=θ,PE=4m,∠PEM= ,∠PME= ,
由正弦定理可得PM= = ,
同理,在△PNE中,PN= ,
∴S△PMN= = = ,
M与E重合时,θ=0,N与D重合时,tan∠APD=3,即θ= ,
∴0≤θ≤ ,
综上所述,S△PMN= ,0≤θ≤ ;
(2)解:当2θ+ = 即 时,S取得最小值 =8( ﹣1)平方米.
【解析】(1)利用正弦定理,求出PM,PN,即可求S关于θ的函数关系式,M与E重合时,θ=0,N与D重合时,tan∠APD=3,即θ= ,即可写出θ的取值范围;(2)当2θ+ = 即 时,S取得最小值.
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