Question

【题目】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，短轴两个端点为 、 ，且四边形 是边长为2的正方形．

（1）求椭圆的方程；
（2）若 、 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点 满足 ，连接 ，交椭圆于点 ．证明： 为定值．
（3）在（2）的条件下，试问 轴上是否存异于点 的定点 ，使得以 为直径的圆恒过直线 、 的交点，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，∴ 椭圆方程为： ．

（2）解：∵ ，∴设 ，则直线 的方程为： ，

，

解设： 或 （舍去），

，∴ ，从而 ，

∴

（3）解：设 ，若以 为直径的圆过 与 的交点即直线 ，

直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，

所以 ，即 ，

∴ ，即

【解析】(1)根据题意结合椭圆中a2=b2+c2的关系分别求出a、b的值进而求出椭圆的方程。(2)由已知利用点斜式设出直线MC的方程，联立椭圆和直线的方程消去y得到的关于x的方程，解出点P和点M的坐标由向量的数量积的坐标表示计算即可得到定值为4。(3)根据题意设出点Q的坐标，利用直径所对的圆心角为直角得出垂直的关系，再转化为向量的数量积等于零，即可解得Q点的坐标。

【考点精析】掌握椭圆的概念是解答本题的根本，需要知道平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆,这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．