题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,四边形
是菱形,
,
,且
,
交于点
,
是
上任意一点.
(1)求证: ;
(2)已知二面角的余弦值为
,若
为
的中点,求
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)线线垂直问题转化为线面问题即可解决,即
,由
平面
,得
,又分析可知
,且
,所以
(2)解法1:(空间向量在立体几何中的应用)设
与平面
所成的角为
,即
与平面
所成角为
与平面
的法向量
所成角,如图所示的空间直角坐标系,
设则
,
,
平面的一个法向量为
(1,0,0),
,得到
再由二面角的余弦值为
,
,解得
,
故,
,最后
求得;
解法2:通过构造法作出二面角的平面角
,
设DP=t, 作出二面角的平面角
,
由,求出点
到平面
的距离
试题解析:(1)因为平面
,所以
, 1分
因为四边形为菱形,所以
2分
又
因为5分
(2)解法1:
连接在
中,
所以分别以
所在直线为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设则
,
. 6分
由(1)知,平面的一个法向量为
(1,0,0), 设平面
的一个法向量为
,则
得
,令
,得
8分
因为二面角的余弦值为
,所以
,
解得或
(舍去),所以
10分
设与平面
所成的角为
.因为
,
,
∴
所以与平面
所成角的正弦值为
. 12分
解法2:
设DP=t, 作出二面角的平面角
由
,求出点
到平面
的距离
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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