题目内容
【题目】已知函数y=f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,等式f(x)f(y)=f(x+y)成立,若数列{an}满足 ,(n∈N*),且a1=f(0),则下列结论成立的是( )
A.f(a2013)>f(a2016)
B.f(a2014)>f(a2015)
C.f(a2016)<f(a2015)
D.f(a2014)<f(a2016)
【答案】B
【解析】解:∵f(x)f(y)=f(x+y)恒成立,
∴令x=﹣1,y=0,则f(﹣1)f(0)=f(﹣1),
∵当x<0时,f(x)>1,
∴f(﹣1)≠0,
∴f(0)=1,
∵ ,
∴f(an+1)f( )=1=f(0)
∴f(an+1+ )=f(0)=a1 ,
∴an+1+ =0,
即an+1=﹣ ,
当n=1时,a2=﹣ ,
当n=2时,a3=﹣2,
当n=3时,a4=1,
∴数列{an}是以3为周期的周期数列,
∴a2013=a3=﹣2,
a2014=a1=1,
a2015=a2=﹣ ,
a2016=a3=﹣2,
故选:B.
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