Question

15．函数f（x）是偶函数且满足f（x+2）=-f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=x-1，则不等式xf（x）＜0在[-2，3]上的解集为（　　）

• A． （1，3）
• B． （-1，1）
• C． （-1，0）∪（1，3）
• D． （-2，-1）∪（0，1）

Answer 1

分析 可设x∈[0，2]，从而可求出f（x+2）=-x+1，可设x+2=t，t∈[2，4]，这便可得到f（t）=-t+3，而根据f（x）为偶函数，可设x∈[-2，0），从而可求得f（x）=-x-1．这样便可得出f（x）的解析式：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-1}&{x∈[-2，0）}\\{x-1}&{x∈[0，2]}\\{-x+3}&{x∈（2，3]}\end{array}\right.$，这样即可解出不等式xf（x）＜0的解集．

解答 解：设x∈[0，2]，则，f（x+2）=-f（x）=-x+1；
即f（x+2）=-x+1，设x+2=t，t∈[2，4]，x=t-2，则：
f（t）=-t+3；
设x∈[-2，0），-x∈（0，2]，f（x）为偶函数；
∴f（-x）=-x-1=f（x）；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-x-1}&{x∈[-2，0）}\\{x-1}&{x∈[0，2]}\\{-x+3}&{x∈（2，3]}\end{array}\right.$；
∴由xf（x）＜0得，$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.，或\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜x≤2}\\{x-1＜0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{2＜x≤3}\\{-x+3＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x＜0}\\{-x-1＞0}\end{array}\right.$；
解得0＜x＜1，或-2≤x＜-1；
∴不等式xf（x）＜0在[-2，3]上的解集为（-2，-1）∪（0，1）．
故选D．

点评 考查偶函数的定义，应想着求函数f（x）的解析式是求解本题的关键，将不等式变成几个不等式从而解不等式的方法．