题目内容
【题目】若关于x的不等式xex﹣2ax+a<0的非空解集中无整数解,则实数a的取值范围是( )
A.[ ,
)
B.[ ,
)
C.[ ,e]
D.[ ,e]
【答案】B
【解析】解:设g(x)=xex , f(x)=2ax﹣a, 由题意可得g(x)=xex在直线f(x)=ax﹣a下方,
g′(x)=(x+1)ex ,
f(x)=2ax﹣a恒过定点( ,0),
设直线与曲线相切于(m,n),
可得2a=(m+1)em , mem=2am﹣a,
消去a,可得2m2﹣m﹣1=0,解得m=1(舍去)或﹣ ,
则切线的斜率为2a=(﹣ +1)e
,
解得a= ,
又由题设原不等式无整数解,
由图象可得当x=﹣1时,g(﹣1)=﹣e﹣1 , f(﹣1)=﹣3a,
由f(﹣1)=g(﹣1),可得a= ,
由直线绕着点( ,0)旋转,
可得 ≤a<
,
故选:B.
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