Question

如图，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域．
（1）若向该正方形内随机投一点，求该点落在阴影区域的概率？
（2）现用红、蓝两种颜色为正方形内4个非阴影区域涂色，每个区域只涂一种颜色．
求4个非阴影区域颜色不全相同的概率？

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：（1）由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是矩形面积，而满足条件的阴影区域，可以通过空白区域面得到，空白区域可以看作是由8部分组成，每一部分是由边长为

AB

2

的正方形面积减去半径为

AB

2

的四分之一圆的面积得到．
（2）利用列举法先求出4个非阴影区域为A，B，C，D，其基本事件，然后利用古典概型概率公式解答．

解答： 解：（1）由题意知本题是一个几何概型，设正方形ABCD的边长为2，
∵试验发生包含的所有事件是矩形面积S=2×2=4，
空白区域的面积是2（4-π）=8-2π，
∴阴影区域的面积为4-（8-2π）=2π-4
∴由几何概型公式得到P=

2π-4

4

=

π

2

-1；
（2）设4个非阴影区域为A，B，C，D，其基本事件是红红红红，红红红蓝，红红蓝红，红蓝红红，蓝红红红，红红蓝蓝，红蓝蓝红，蓝蓝红红，蓝红红蓝，蓝红蓝红，红蓝红蓝，红蓝蓝蓝，蓝红蓝蓝，蓝蓝红蓝，蓝蓝蓝红，蓝蓝蓝蓝共有16个，所以4个非阴影区域颜色不全相同的共有14个，4个非阴影区域颜色不全相同的概率

14

16

=

7

8

．

点评：本题考查几何概型、等可能事件的概率，其中几何概型关键是找出几何度量，利用几何度量的比求概率．