Question

下列说法中：
①集合A={x|mx²-4x+4=0}中只有一个元素，则m=1；
②若f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函数，则实数b=2；
③已知函数f（x）单调递减，则f(

1-x2

)的单调递增区间为[0，1]；
④已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），则f（x）是奇函数．
其中正确说法的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,集合

分析：求出满足集合A={x|mx²-4x+4=0}中只有一个元素的m值，可判断A；根据偶函数的定义和性质，求出a，b的值，可判断②；根据复合函数，二次函数的单调性，可判断③；根据已知中f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），判断出f（-x）=-f（x）恒成立，可判断④．

解答： 解：对于①，集合A={x|mx²-4x+4=0}中只有一个元素，则m=0，或m≠0且△=0，即m=1，故错误；
对于②，f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函数，则2a+b=0，且2a-1+a+4=0，解处a=-1，b=2，故正确；
对于③，已知函数f（x）单调递减，由f(

1-x2

)的定义域为[-1，1]，在[0，1]上内函数t=1-x²为减函数，则f(

1-x2

)的单调递增区间为[0，1]；
对于④，已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），
令x=y=-t得：f（t²）=-tf（-t）-tf（-t），①；再令x=y=t得：f（t²）=tf（t）+tf（t），②
由①②得：-tf（-t）-tf（-t）=tf（t）+tf（t），即2t[f（t）+f（-t）]=0，
∵t不恒为0，∴f（t）+f（-t）=0，即f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x）．∴f（x）是奇函数，故正确；
故正确说法的序号是：②③④
故答案为：②③④

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了元素的个数，函数的奇偶性，函数的周期性，难度中档．