Question

已知f（x）=ax²+x-3．
（1）当a=2时，解不等式f（x）＞0；
（2）当a＞0时，?x₀∈[-1，2]，f（x）＞0，求a的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）把a=2代入不等式f（x）＞0，再由二次不等式的解法求解集；
（2）根据条件可得：求出f（x）在[-1，2]上的最大值大于零，根据对称轴进行分类讨论，利用二次函数的性质求出f（x）的最大值，列出不等式求出a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=2时不等式f（x）＞0为：2x²+x-3＞0，
即（2x+3）（x-1）＞0，解得x＞1或x＜-

3

2

，
所以不等式的解集是{x|x＞1或x＜-

3

2

}；
（2）因为当a＞0时，?x₀∈[-1，2]，f（x）＞0，
所以只要x∈[-1，2]，f（x）的最大值大于零即可，
函数f（x）=ax²+x-3的对称轴是x=-

1

2a

，
由a＞0得，-

1

2a

＜0，
①当-1＜-

1

2a

＜0时，即a＞

1

2

，f（x）的最大值是f（2）=4a-1，
所以4a-1＞0，解得a＞

1

4

，即a＞

1

2

，
②当-

1

2a

≤-1时，此时0＜a≤

1

2

，所以函数f（x）在[-1，2]递增，
则f（x）的最大值是f（2）=4a-1＞0，解得a＞

1

4

，
所以

1

4

＜a≤

1

2

，
综上可得，a的取值范围是a＞

1

4

．

点评：本题考查二次不等式的解法，由二次函数的性质求函数最值，及分类讨论思想求出参数的范围，属于中档题．