Question

【题目】已知函数f（x）=log2（x+1），g（x）=log2（3x+1）．
（1）求出使g（x）≥f（x）成立的x的取值范围；
（2）在（1）的范围内求y=g（x）﹣f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=log2（x+1），g（x）= ，g（x）≥f（x），

∴log2（x+1）≤ ，

∴3x+1≥x+1＞0，

∴x≥0．

（2）解：∵y=g（x）﹣f（x）

= ﹣log2（x+1）

= （x≥0）．

令h（x）= =3﹣ ，

则h（x）为[0，+∞）上的增函数，

∴h（x）min=h（0）=1，

由复合函数的性质得：y=g（x）﹣f（x）的最小值为log21=0

【解析】（1）利用对数函数y=log2x的单调性即可求得g（x）≥f（x）成立的x的取值范围；（2）利用函数y=g（x）﹣f（x）的性质即可求得其最小值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解对数函数的单调性与特殊点(过定点（1，0），即x=1时，y=0;a>1时在（0，+∞）上是增函数;0>a>1时在（0，+∞）上是减函数)．