题目内容
【题目】函数.
(1)若,
,讨论函数
的零点个数情况;
(2)若,对于
,存在
,使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1) 当或
时,函数
有一个零点;当
时,函数
有两个零点;当
时,函数
没有零点;(2)
.
【解析】
(1)分离参数,将函数零点个数的问题,转化为函数图像交点的问题,通过求解函数单调性和值域,得出结论;
(2)分离参数,将能成立问题转化为函数值域的问题,再利用导数求解函数的值域即可.
(1)当时,
,定义域为
令,即
,等价于
令,则
,令
,解得
故当时,
,
单调递减,
当时,
,
单调递增.
故.
又当趋近于0时,
趋近于正无穷;
当时,
,且趋近于0,
据此,画出函数的示意图如下:
结合图像,以及函数单调性可知:
当或
时,函数
有一个零点;
当时,函数
有两个零点;
当时,函数
没有零点.
(2)当时,
存在,
等价于存在
,
,且
等价于存在时,
能成立,
且存在使得
能成立.
因为是单调减函数,故
能成立,
等价于
即;
令,故
令,解得
或
(舍)
故当单调递减,当
,函数单调递增
故,又
,
因为,故当
时,
故要使得当时,存在
,使得
成立
只需,又因为
故可得.

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