题目内容
【题目】若存在常数,使得对任意
,
,均有
,则称
为有界集合,同时称
为集合
的上界.
(1)设,
,试判断
是否为有界集合,并说明理由;
(2)已知常数,若函数
为有界集合,求集合
的上界
最小值
.
(3)已知函数,记
,
,
,
,求使得集合
为有界集合时
的取值范围.
【答案】(1)不是有界集合,B是有界集合,证明见解析;(2)
;(3)
.
【解析】
(1),
,结合定义说明它不是有界集合,求出
,所以集合是有界集合;(2)先求出
时,集合
的上界
,
时,集合
的上界
,再求集合
的上界
最小值
;(3)先求出
,再结合有界集合的定义求解.
(1)由得
,即
,
,
对任意一个
,都有一个
,故
不是有界集合.
,
又在
上是增函数,且
时,
,
,
,
是有界集合,上界为1.
(2),
因为,所以函数单调递减,
,
因为函数为有界集合,
所以分两种情况讨论:
当即
时,集合
的上界
.
当时,不等式为
;
当时,不等式为
;
当时,不等式为
.
即时,集合
的上界
.
当即
时,集合
的上界
.
同上解不等式得的解为
.
即时,集合
的上界
.
综上得时,集合
的上界
,
时,集合
的上界
.
时,集合
的上界
是一个减函数,所以此时
;
时,集合
的上界
是增函数,所以
,
所以集合的上界
最小值
.
(3),
,
因为为有界集合,
存在常数
使得
,
又
,
恒成立,
,
.
当时,
,故
成立;
当时,
所以
不成立.
同理时不成立.
故.
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