Question

13．已知函数f（x）=lnx-$\frac{x-a}{x}$，其中a为常数，且a＞0．
（1）若函数y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线y=x+1垂直，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数f（x）在区间（0，2]上的最小值为$\frac{1}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数．
（1）求出f′（1），由题意可得f′（1）=-1，由此求得a值，代入原函数的导函数，由导函数小于0求得函数f（x）的单调递减区间；
（2）求出原函数的导函数，对a分类得到原函数的单调性，求出函数的最小值，由最小值等于$\frac{1}{2}$求得a值．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}=\frac{x-a}{{x}^{2}}（x＞0）$．
（1）∵曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线y=x+1垂直，∴f′（1）=-1，解得a=2．
当a=2时，f（x）=lnx-$\frac{x-2}{x}$，f′（x）=$\frac{x-2}{{x}^{2}}（x＞0）$，令f′（x）＜0，解得0＜x＜2．
∴函数f（x）的单调递减区间为（0，2）；
（2）当0＜a＜2时，由f′（x）=0得，x=a∈（0，2），
∵对于x∈（0，a）有f′（x）＜0，f（x）在（0，a]上为减函数，对于x∈（a，2）有f′（x）＞0，f（x）在[a，2]上为增函数，
∴f（x）_min=f（a）=lna，令lna=$\frac{1}{2}$，得a=${e}^{\frac{1}{2}}$，
当a≥2时，f′（x）＜0在（0，2）上恒成立，这时f（x）在（0，2]上为减函数，
∴$f（x）_{min}=f（2）=ln2+\frac{a}{2}-1$，得a=3-ln4＜2（舍去）．
综上$a={e}^{\frac{1}{2}}$．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，属中档题．