Question

18．已知等差数列{a_n}满足：a₆=13，a₂+a₄=14，{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n．
（Ⅱ）令b_n=$\frac{4}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+1}-1）}$，（n∈N^*），求数列{b_n}的前项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过设等差数列{a_n}的公差为d，利用a₁+5d=13、2a₁+4d=14计算可得首项与公差，进而可得结论；
（Ⅱ）通过（I）裂项可知b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，（n∈N^*），并项相加即得结论．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₆=13，a₂+a₄=14，
∴a₁+5d=13，2a₁+4d=14，
解得：a₁=3，d=2，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，
S_n=3n+$\frac{n（n-1）}{2}$×2=n²+2n；
（Ⅱ）由（I）可知b_n=$\frac{4}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+1}-1）}$=$\frac{4}{2n×2（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，（n∈N^*），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，裂项、并项相加是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．