Question

【题目】如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．
（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；
（Ⅱ）求直线AB与平面CBF所成角的大小；
（Ⅲ）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？

Answer 1

【答案】（I）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴CB⊥平面ABEF．
∵AF平面ABEF，∴AF⊥CB，
又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．
∵AF平面ADF，∴平面DAF⊥平面CBF．
（II）解：根据（Ⅰ）的证明，有AF⊥平面CBF，
∴FB为AB在平面CBF内的射影，因此，∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角
∵AB∥EF，∴四边形ABEF为等腰梯形，
过点F作FH⊥AB，交AB于H．
AB=2，EF=1，则 ．
在Rt△AFB中，根据射影定理AF2=AHAB，得AF=1
∴ ，∴∠ABF=30°．
∴直线AB与平面CBF所成角的大小为30°．
（Ⅲ）解：设EF中点为G，以O为坐标原点，OA、OG、AD方向分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系（如图）．
设AD=t（t＞0），则点D的坐标为（1，0，t），则 C（﹣1，0，t），
∴
设平面DCF的法向量为 ，则 ， ，即
令 ，解得x=0，y=2t，∴
由（I）可知AF⊥平面CFB，取平面CBF的一个法向量为 ，
依题意 与 的夹角为60°，∴ ，即 ，解得
因此，当AD的长为 时，平面与DFC平面FCB所成的锐二面角的大小为60°．

【解析】（I）利用面面垂直的性质，可得CB⊥平面ABEF，再利用线面垂直的判定，证明AF⊥平面CBF，从而利用面面垂直的判定可得平面DAF⊥平面CBF；（II）确定∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角，过点F作FH⊥AB，交AB于H，计算出AF，即可求得直线AB与平面CBF所成角的大小；（Ⅲ）建立空间直角坐标系，求出平面DCF的法向量 ，平面CBF的一个法向量 ，利用向量的夹角公式，即可求得AD的长．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平面与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．