题目内容

设函数
(1)求函数上的值域;
(2)证明对于每一个,在上存在唯一的,使得
(3)求的值.

(1) ;(2)证明见解析;(3)当时,为,当时,为

解析试题分析:(1)由于可以看作为的二次函数,故可利用换元法借助二次函数知识求出值域;(2)这类问题的常用方法是证明在区间是单调的,且或者,即可得证;本题中证时也可数学归纳法证明;(3)要求的值,注意分类讨论,时直接得结论,那么求时,只要用分组求和即可,在时,中除第一项外是一个公比不为1的等比数列的和,因此先求出
,同样在求时用分组求和的方法可求得结论.
试题解析:(1),由 令
上单调递增,上的值域为.     4分
(2)对于,从而,,在上单调递减, ,上单调递减.
.
.      7分
时,
(注用数学归纳法证明相应给分)
,即对于任意自然数
对于每一个,存在唯一的,使得      11分
(3)
时,
.      14分
时,
     18分
考点:(1)换元法与二次函数的值域;(2)函数的零点;(3)分类讨论与分组求和.

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