题目内容

某种海洋生物身体的长度(单位:米)与生长年限t(单位:年)
满足如下的函数关系:.(设该生物出生时t=0)
(1)需经过多少时间,该生物的身长超过8米;
(2)设出生后第年,该生物长得最快,求的值.

(1)6年;(2)4或5.

解析试题分析:(1)求需经过多少时间,该生物的身长超过8米,实质就是解不等式,不等式解集中的最小值就是本题结论;(2)首先要搞懂什么是“长得最快”,“长得最快”就是说明这一年该生物身体增长的长度最大,因此实质就是求的最大值,即就是这个最大值,下面我们只要求出,分析它的最大值是在为何值时取得,
,此式较繁,因此我们用换元法,设,由有
,它的最大值求法一般是分子分母同时除以,然后用基本不等式及不等式的性质得到结论.
试题解析:(1)设,即,解得
即该生物6年后身长可超过8米;              5分
(2)设第年生长最快,于是有
,    8分
,则
,    11分
等号当且仅当时成立,因为,因此可能值为4或5,由知,所求有年份为第4年和第5年,两年内各生长了米.   14分
考点:(1)解不等式;(2)换元法与函数的最值.

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