题目内容
有一块边长为4米的正方形钢板，现对其进行切割，焊接成一个长方体无盖容器（切、焊损耗忽略不计），有人用数学知识作了如下设计：在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成长方体。
（Ⅰ）求这种切割、焊接而成的长方体的最大容积
.
（Ⅱ）请问：能重新设计，使所得长方体的容器的容积
吗？若能、给出你的一种设计方案。
（Ⅰ）
(m3)；（Ⅱ）能（参考解析）
解析试题分析：（Ⅰ）根据题意可得假设每个小正方形的边长为x.则通过折叠可得一个无盖的正方体.所以可以求出正方体的体积的表达.通过求导可求得体积的最大值.
（Ⅱ）本小题的设计较困难.通过对比和体积公式的应用可以假设出较多的方案.本小题的设计方案具有一定的技巧性.
试题解析：（1）设切去的小正方形边长为x.则
.所以
.所以当
时. 
.当
时. 
.所以当
时. (m3).
(2)能.如图所示.先在在正方形一边的两个角出各切下一个边长为1米的小正方形.再将这两个小正方形焊接在另一边的中间.然后焊接成长方形容器.此时. 
.
考点：1.正方体的体积的求法.2.导数求最值.3.创新思维的构造.
练习册系列答案
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为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点
米，圆心角为
（弧度）．
关于
，求
的函数关系式，并求出
．
在
上的值域；
，在
上存在唯一的
，使得
；
的值．
的解集是
．
(c为常数) ．
的定义域； 
元．公司拟投入
万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入
万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量
至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
，
，
的最大值
；
．
；
的最小值．