Question

近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录。为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）；已知生产该产品还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元／万件．
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润是大？

Answer 1

（1），（）.
（2）当时,促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;
当时,促销费用投入万元时，厂家的利润最大 .

解析试题分析：（1）由题意得到， 将代入化简即得
，（）.
（2）将原函数变形，应用基本不等式，，
当且仅当时，上式取等号.根据，讨论，,的不同情况，确定最大利润.
试题解析：（1）由题意知， ，
将代入化简得：
，（），                               6分
（2），
当且仅当时，上式取等号.                       9分
当时,促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;
当时,在上单调递增,所以在时,函数有最大值．促销费用投入万元时，厂家的利润最大 .
综上述,当时,促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;
当时,促销费用投入万元时，厂家的利润最大 .                  12分
考点：函数的应用问题，基本不等式.