题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)探究函数的单调性;
(Ⅱ)若在
上恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)答案见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ)对函数求导有,分类讨论:若
,
在
上单调递增;若
,
在
上单调递减,在
上单调递增.
(Ⅱ)原问题即在
上恒成立.构造函数:令
,则
,考查分子部分,令
,则
是
上的增函数.据此分类讨论:①当
时,
成立.②当
时,
不可能恒成立.综合上述,实数
的取值范围是
.
试题解析:
(Ⅰ)依题意, ,函数
,
若,
,函数
在
上单调递增;
若,当
时,
,当
时,
,
函数在
上单调递减,在
上单调递增.
(Ⅱ)依题意, ,即
在
上恒成立.
令,则
,
令
,则
是
上的增函数,即
.
①当时,
,所以
,因此
是
上的增函数,
则,因此
时,
成立.
②当时,令
,得
,
求得,(由于
,所以舍去
)
当时,
,则
在
上递减,
当时,
,则
在
上递增,
所以当时,
,
因此时,
不可能恒成立.
综合上述,实数的取值范围是
.
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