题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求
在
上的值域;
(2)试求的零点个数,并证明你的结论.
【答案】(1)(2)当
时,
只有一个零点;当
时,
有两个零点.
【解析】试题分析:(1)当时,
,则
,而
在
上恒成立,所以
在
上递减,由
,可得
当时,
,
递增;当
时
,
递减;所以
,比较
的大小可得
,进而可得结果;
(2)原方程等价于实根的个数,原命题也等价于
在
上的零点个数,讨论
,
,
,三种情况,分别利用导数研究函数的单调性,结合函数图象与零点存在定理可得结果.
试题解析:(1)当时,
,则
,
而在
上恒成立,所以
在
上递减,
,
,
所以在
上存在唯一的
,使得
,而且
当时,
,
递增;当
时
,
递减;
所以,当时,
取极大值,也是最大值,即
,
,
所以, 在
上的值域为
.
(2)令,得
,
显然不是方程的根,
那么原方程等价于实根的个数,令
,
原命题也等价于在
上的零点个数;
又因为,所以
在
和
上都是单调递增的;
(I)若,则
当时,
恒成立,则没有零点;
当时,
,
,又
在
上单调递增的,所以有唯一的零点。
(II)若,则
当时,
恒成立,则没有零点;
当时,
,
,又
在
上单调递增的,所以有唯一的零点
(III)若,则
当时,由
,则
,
则取
,则
,又
,所以
在
有唯一的零点,
当时,
,
,又
在
上单调递增的,所以有唯一的零点
综上所述,当时,
只有一个零点;当
时,
有两个零点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关, 现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表:
温度x/C | 21 | 23 | 24 | 27 | 29 | 32 |
产卵数y/个 | 6 | 11 | 20 | 27 | 57 | 77 |
经计算得: ,
,
,
,
,线性回归模型的残差平方和
,e8.0605≈3167,其中xi, yi分别为观测数据中的温度和产卵数,i=1, 2, 3, 4, 5, 6.
(Ⅰ)若用线性回归模型,求y关于x的回归方程=
x+
(精确到0.1);
(Ⅱ)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x,且相关指数R2=0.9522.
( i )试与(Ⅰ)中的回归模型相比,用R2说明哪种模型的拟合效果更好.
( ii )用拟合效果好的模型预测温度为35C时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数).
附:一组数据(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn ), 其回归直线=
x+
的斜率和截距的最小二乘估计为
=
;相关指数R2=
.