题目内容
【题目】已知函数
(1)若不等式恒成立,则实数
的取值范围;
(2)在(1)中, 取最小值时,设函数
.若函数
在区间
上恰有两个零点,求实数
的取值范围;
(3)证明不等式: (
且
).
【答案】(1) ;(2)
;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)原题等价于恒成立,设
,利用导数判断得出差
在
上单调递增,在
上单调递减,
,可得结论;(2)由(1)可得关于
的方程
在区间
上恰有两个实数根,即
,令
,利用二次求导可得当
时,
单调递减,当
时,
单调递增,计算出端点值和极值,可得实数
的取值范围;(3)由(1)中的结论,令
,则有
,整理可得
,当
时,利用累加法可得结论成立.
试题解析:(1)由题意知, 恒成立.变形得:
.
设,则
,由
可知,
在
上单调递增,在
上单调递减,
在
处取得最大值,且
.
所以,实数
的取值范围是
.
(2)由(1)可知, ,当
时,
,
,
在区间
上恰有两个零点,即关于
的方程
在区间
上恰有两个实数根. 整理方程得,
,令
,
, 令
,
,
则,
,于是
,
在
上单调递增.
因为,当
时,
,从而
,
单调递减,
当时,
,从而
,
单调递增,
,
,
,
因为,所以实数
的取值范围是
.
(3)由(1)可知,当时,有
,
当且仅当时取等号.
令,则有
,其中
.
整理得: ,
当时,
,
,
,
,
上面个式子累加得:
.
且
,
即.命题得证.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关, 现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表:
温度x/C | 21 | 23 | 24 | 27 | 29 | 32 |
产卵数y/个 | 6 | 11 | 20 | 27 | 57 | 77 |
经计算得: ,
,
,
,
,线性回归模型的残差平方和
,e8.0605≈3167,其中xi, yi分别为观测数据中的温度和产卵数,i=1, 2, 3, 4, 5, 6.
(Ⅰ)若用线性回归模型,求y关于x的回归方程=
x+
(精确到0.1);
(Ⅱ)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x,且相关指数R2=0.9522.
( i )试与(Ⅰ)中的回归模型相比,用R2说明哪种模型的拟合效果更好.
( ii )用拟合效果好的模型预测温度为35C时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数).
附:一组数据(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn ), 其回归直线=
x+
的斜率和截距的最小二乘估计为
=
;相关指数R2=
.