如图.△ABC中.D.E分别为AB.AC的中点.CD与BE交于F.设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$.$\overrightarrow{AF}$=m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$.则m+n=( )A．1B� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

8．如图，△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，CD与BE交于F，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AF}$=m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$，则m+n=（　　）

A．

1

B．

$\frac{4}{3}$

C．

$\frac{2}{3}$

D．

$\frac{5}{6}$

分析延长AF交BC于点M，由于AD=DB，AE=EC，CD与BE交于F，可知：点F是△ABC的重心．利用三角形重心的性质和向量的平行四边形法则即可得出．

解答解：如图所示，
延长AF交BC于点M，
∵AD=DB，AE=EC，CD与BE交于F，
∴点F是△ABC的重心．
∴$\overrightarrow{AF}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）．
∴$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$$+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$．
∵$\overrightarrow{AF}$=m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$，
∴m=n=$\frac{1}{3}$．
∴m+n=$\frac{2}{3}$．
故选：C．

点评本题考查了三角形重心的性质和向量的平行四边形法则，属于基础题．

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