Question

3．若x＞0且x≠1，p，q∈N^*，则1+x^p+q与x^p+x^q的大小关系为x^p+x^q＜1+x^p+q．

Answer 1

分析 作差（x^p+x^q）-（1+x^p+q）=（x^p-1）（x^q-1），通过对x分类讨论，利用指数函数的单调性即可得出．

解答 解：（x^p+x^q）-（1+x^p+q）
=-（x^p-1）（x^q-1），
当x＞1且x≠1时，∵p，q∈N^*，∴x^p＞1，x^q＞1，∴（x^p-1）（x^q-1）＞0，∴x^p+x^q＜1+x^p+q；
当0＜x＜1且x≠1时，∵p，q∈N^*，∴x^p＜1，x^q＜1，∴（x^p-1）（x^q-1）＞0，∴x^p+x^q＜1+x^p+q．
综上可得：x^p+x^q＜1+x^p+q．

点评 本题考查了指数函数的单调性、“作差法”，考查了分类讨论、计算能力，属于中档题．