Question

（本小题满分14分）有人玩掷正四面体骰子走跳棋的游戏，已知正四面体骰子四个面上分别印有，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，若掷出后骰子为面，棋子向前跳2站，若掷出后骰子为中的一面，则棋子向前跳1站，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为（）．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求玩该游戏获胜的概率．

Answer 1

解：（1）依题意，得.………………………………………2分
……………………………………………………4分
（Ⅱ）设棋子跳到第n站（2≤n≤99）有两种可能：第一种，棋子先到第站，又掷出后得到A面，其概率为；第二种，棋子先到第站，又掷出后得到中的一面，其概率为，由于以上两种可能是互斥的，所以，
即有.………………………………………………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知数列是首项为，公比为的等比数列.
于是有.
把以上各式相加，得　.
因此，获胜的概率为．………………………………………………14分

略