题目内容

4.已知椭圆E:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2
(1)若点A(0,b)与焦点F1、F2构成△AF1F2为等腰直角三角形,求椭圆的离心率.
(2)若椭圆E的离心率为$\frac{1}{2}$,过点P(0,1)的直线与椭圆交于B、C两点,且当点B、C关于y轴对称时,|BC|=$\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$,求椭圆E的方程.

分析 (1)由题意可得c=b,由a,b,c的关系和离心率公式,计算即可得到;
(2)由离心率为$\frac{1}{2}$,可得3a2=4b2,①,再由B,C关于y轴对称,可得它们的纵坐标为1,代入椭圆方程,结合条件可得a,b的方程,解方程,即可得到a2=4,b2=3,则椭圆方程可得.

解答 解:(1)△AF1F2为等腰直角三角形,
则|OA|=|OF1|,即b=c,
c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$,即有c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a,
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$;
(2)由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$,可得a2=4c2=4(a2-b2),
即3a2=4b2,①
由B,C关于y轴对称,设B(m,n),C(-m,n),
|BC|=2|m|,又P为BC的中点,则2n=2,即n=1,
由$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1可得|m|=$\frac{a}{b}$$\sqrt{{b}^{2}-1}$,
由题意可得$\frac{2a}{b}$$\sqrt{{b}^{2}-1}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$,②
由①②解得a2=4,b2=3,
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1.

点评 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率的运用和方程的运用,注意点在椭圆上满足椭圆方程,考查化简整理的运算能力,属于中档题.

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