Question

【题目】已知数列{an}是首项为a1= ，公比q= 的等比数列，设bn+2=3log an（n∈N*），数列{cn}满足cn=anbn ．
（1）求证：{bn}是等差数列；
（2）求数列{cn}的前n项和Sn；
（3）若cn≤ +m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知，an=（ ）n．

∵ ，

∴b1=1

∴bn+1﹣bn=3 log an+1﹣3 log an=3 log =3 log q=3

∴数列{bn}是首项为1，公差为3的等差数列

（2）解：由（1）知，an=（ ）n．bn=3n﹣2

∴Cn=（3n﹣2）×（ ）n．

∴Sn=1× +4×（ ）2+…+（3n﹣2）×（ ）n，

于是 Sn=1×（ ）2+4×（ ）3+…（3n﹣2）×（ ）n+1，

两式相减得 Sn= +3×[（ ）2+（ ）3+…+（ ）n）﹣（3n﹣2）×（ ）n+1，

= ﹣（3n+2）×（ ）n+1，

∴Sn= ﹣ （ ）n

（3）解：∵Cn+1﹣Cn=（3n+1）×（ ）n+1﹣（3n﹣2）×（ ）n=9（1﹣n）×（ ）n+1，

∴当n=1时，C2=C1=

当n≥2时，Cn+1＜Cn，即C2=C1＞C3＞C4＞…＞Cn

∴当n=1时，Cn取最大值是

又

∴ ≥

即m2+4m﹣5≥0解得m≥1或m≤﹣5

【解析】（1）根据等比数列的通项公式可求得an ， 代入 求得bn+1﹣bn为常数，进而判断出数列{bn}是等差数列．（2）由（1）可分别求得an和bn ， 进而求得Cn进而用错位相减法进行求和．（3）把（2）中的Cn ， 代入Cn+1﹣Cn结果小于0，进而判断出当n≥2时，Cn+1＜Cn ， 进而可推断出当n=1时，Cn取最大值，问题转化为 ≥ ，求得m的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了等差关系的确定和数列的前n项和的相关知识点，需要掌握如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．