Question

15．（1）证明：$\sqrt{5}-\sqrt{10}＞\sqrt{3}-\sqrt{8}$
（2）已知a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，求证：$（\frac{1}{a}-1）（\frac{1}{b}-1）（\frac{1}{c}-1）≥8$．

Answer 1

分析 （1）利用（$\sqrt{5}$+$\sqrt{8}$）²＞（$\sqrt{10}$+$\sqrt{3}$）²，即可证明结论；
（2）先利用“1”的代换，再利用基本不等式，即可得到结论．

解答 证明：（1）∵（$\sqrt{5}$+$\sqrt{8}$）²＞（$\sqrt{10}$+$\sqrt{3}$）²，
∴$\sqrt{5}$+$\sqrt{8}$＞$\sqrt{10}$+$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{5}-\sqrt{10}＞\sqrt{3}-\sqrt{8}$
（2）∵a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，
∴左边=$\frac{b+c}{a}•\frac{a+c}{b}•\frac{a+b}{c}$$≥\frac{2\sqrt{bc}•2\sqrt{ac}•2\sqrt{ab}}{abc}$=8（a=b=c时取等号），
∴$（\frac{1}{a}-1）（\frac{1}{b}-1）（\frac{1}{c}-1）≥8$．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．