Question

18．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与双曲线D：$\frac{{x}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1 （a＞0，b＞0），直线l：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$与双曲线D的两条渐近线分别交于点A，B．若椭圆E的右焦点F在以线段AB为直径的圆内，则椭圆的离心率e的取值范围是$（\frac{\sqrt{3}}{2}，1）$．

Answer 1

分析 椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），可得F（c，0）．由双曲线D：$\frac{{x}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1 （a＞0，b＞0），可得渐近线方程为：$y=±\frac{b}{2a}x$．联立解得A$（\frac{{a}^{2}}{c}，\frac{ab}{2c}）$，B$（\frac{{a}^{2}}{c}，-\frac{ab}{2c}）$．由于椭圆E的右焦点F在以线段AB为直径的圆内，
可得$\frac{{a}^{2}}{c}-c$＜$\frac{ab}{2c}$，化简整理，利用离心率计算公式即可得出．

解答 解：椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），可得F（c，0）．
由双曲线D：$\frac{{x}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1 （a＞0，b＞0），可得渐近线方程为：$y=±\frac{b}{2a}x$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=±\frac{b}{2a}x}\\{x=\frac{{a}^{2}}{c}}\end{array}\right.$，解得A$（\frac{{a}^{2}}{c}，\frac{ab}{2c}）$，B$（\frac{{a}^{2}}{c}，-\frac{ab}{2c}）$．
∵椭圆E的右焦点F在以线段AB为直径的圆内，
∴$\frac{{a}^{2}}{c}-c$＜$\frac{ab}{2c}$，
化为2b＜a，即$\frac{b}{a}＜\frac{1}{2}$．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-（\frac{b}{a}）^{2}}$$＞\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又e＜1．
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}＜e＜1$．
∴椭圆的离心率e的取值范围是$（\frac{\sqrt{3}}{2}，1）$．
故答案为：$（\frac{\sqrt{3}}{2}，1）$．

点评 本题考查了椭圆与圆的及其 双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．