题目内容

4．已知二次函数f（x）=ax2+x，试问是否存在实数a，使得命题“?x∈[0，1]，f（x）＜1”是否成立，若存在，求出实数a的取值范围，否则说明理由．

分析 假设存在实数a，使得命题“?x∈[0，1]，f（x）＜1”成立，运用参数分离和二次函数的性质，即可判断．

解答 解：假设存在实数a，使得命题“?x∈[0，1]，f（x）＜1”成立．
由f（x）＜1即为ax2+x＜1，
x=0时，0＜1恒成立；
x∈（0，1]时，a＜$\frac{1-x}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）2-$\frac{1}{4}$，
由$\frac{1}{x}$≥1可得（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）2-$\frac{1}{4}$≥0，
故a＜0．
即有存在实数a，且a＜0，
使得命题“?x∈[0，1]，f（x）＜1”成立．

点评 本题考查二次函数的性质，主要考查不等式成立问题，注意运用参数分离，属于中档题．

练习册系列答案
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