题目内容
14.已知正项数列{an}的前n项和Sn.若4Sn-an2-2an-1=0,求数列{an}的通项公式.分析 由数列递推式求出数列首项,在已知递推式中取n=n+1得另一递推式,两式作差结合an>0,可得数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.由等差数列的通项公式得答案.
解答 解:由4Sn-an2-2an-1=0,得$4{S}_{1}-{{a}_{1}}^{2}-2{a}_{1}-1=0$,即$4{a}_{1}-{{a}_{1}}^{2}-2{a}_{1}-1=0$,
整理得:$({a}_{1}-1)^{2}=0$,解得:a1=1.
再由4Sn-an2-2an-1=0,得$4{S}_{n+1}-{{a}_{n+1}}^{2}-2{a}_{n+1}-1=0$,
两式作差得:$4({S}_{n+1}-{S}_{n})-{{a}_{n+1}}^{2}-2{a}_{n+1}+{{a}_{n}}^{2}+2{a}_{n}=0$,
整理得:(an+1+an)(an+1-an-2)=0.
∵an>0,∴an+1-an-2=0,即an+1-an=2.
∴数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.
则an=1+2(n-1)=2n-1.
点评 本题考查了数列递推式,考查了等差关系的确定,是中档题.
练习册系列答案
相关题目
2.已知一个多面体的内切球的半径为1,多面体的表面积为18,则此多面体的体积为( )
A. | 18 | B. | 12 | C. | 6 | D. | 12π |