已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.短半轴长为$\sqrt{2}$．(Ⅰ) 求椭圆C的方程,(Ⅱ) 已知斜率为$\frac{1}{2}$的直线l交椭圆C于两个不同点A.B.点M的坐标为(2.1).设直线MA与MB的斜率分别为k1.k2．①若直线l过椭圆C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短半轴长为$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知斜率为$\frac{1}{2}$的直线l交椭圆C于两个不同点A，B，点M的坐标为（2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k₁，k₂．
①若直线l过椭圆C的左顶点，求此时k₁，k₂的值；
②试探究k₁+k₂是否为定值？并说明理由．

分析（Ⅰ）通过椭圆的离心率以及$b=\sqrt{2}$，a²=b²+c²，求出a，b，即可求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）①若直线过椭圆的左顶点，写出直线的方程与椭圆联立方程，求出直线的斜率，推出结果．
②k₁+k₂ 为定值，且k₁+k₂=0，证明如下：设直线在y轴上的截距为m，推出直线的方程，然后两条直线与椭圆联立，设A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），利用韦达定理以及判别式求出k₁+k₂，然后化简求解即可．

解答本题满分（12分）．
解：（Ⅰ）由椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，又$b=\sqrt{2}$，a²=b²+c²，
解得a²=8，b²=2，
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．…（3分）
（Ⅱ）①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是l：y=$\frac{1}{2}x+\sqrt{2}$，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+\sqrt{2}\\ \frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x}_{1}=0\\{y}_{1}=\sqrt{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x}_{2}=-2\sqrt{2}\\{y}_{2}=0\end{array}\right.$，
故${k}_{1}=-\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，${k}_{2}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．…（6分）
②k₁+k₂ 为定值，且k₁+k₂=0．…（7分）
证明如下：
设直线在y轴上的截距为m，所以直线的方程为$y=\frac{1}{2}x+m$．
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+m\\ \frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1\end{array}\right.$，得x²+2mx+2m²-4=0．
当△=4m²-8m²+16＞0，即-2＜m＜2时，直线与椭圆交于两点…（8分）
设A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-2m．${x}_{1}•{x}_{2}=2{m}^{2}-4$…（9分）
又${k}_{1}=\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$，${k}_{2}=\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$
故${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}+\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{（y}_{1}-1）（{x}_{2}-2）+（{y}_{2}-1）{（x}_{1}-2）}{{（x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$．…（10分）
又${y}_{1}=\frac{1}{2}{x}_{1}+m$，${y}_{2}=\frac{1}{2}{x}_{2}+m$，
所以（y₁-1）（x₂-2）+（y₂-1）（x₁-2）=$（\frac{1}{2}{x}_{1}+m-1）（{x}_{2}-2）+（\frac{1}{2}{x}_{2}+m-1）（{x}_{1}-2）$
=x₁•x₂+（m-2）（x₁+x₂）-4（m-1）
=2m²-4+（m-2）（-2m）-4（m-1）=0，
故k₁+k₂=0．…（12分）