Question

【题目】已知椭圆的短轴长为，离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线平行于直线，且与椭圆交于两个不同的点，若为钝角，求直线在轴上的截距的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由短轴长为，离心率为，可求出椭圆中的值，进而可求出椭圆的标准方程；

（2）由直线平行于直线，可设直线的方程为，与椭圆方程联立，可得到关于的一元二次方程，由，可求得，再结合为钝角，可得，且，将该式展开，并结合韦达定理，可求出，进而可求出的取值范围，再结合直线在轴上的截距，可求出的取值范围．

（1）由题意可得，所以，

，解得，

所以椭圆的标准方程为．

（2）由于直线平行于直线，即，设直线在轴上的截距为，

所以的方程为．

联立，得，

因为直线与椭圆交于两个不同的点，

所以，解得．

设，，则，．

因为为钝角等价于，且，

所以

，即，且，

所以直线在轴上的截距的取值范围：．

因为直线在轴上的截距，

所以的取值范围是：．