题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,以原点为圆心,椭圆
的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设为椭圆右顶点,过椭圆
的右焦点的直线
与椭圆
交于
,
两点(异于
),直线
,
分别交直线
于
,
两点. 求证:
,
两点的纵坐标之积为定值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)求出后可得椭圆方程.
(Ⅱ)当直线的斜率不存在,计算可得
两点的纵坐标之积为
.当直线
的斜率存在时,可设直线
的方程为
,
,则
,联立直线方程和椭圆方程,消去
后利用韦达定理化简
后可得定值.
解:(Ⅰ)因为以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切,
所以半径等于原点到直线的距离
,
,即
.
由离心率,可知
,且
,得
.
故椭圆的方程为
.
(Ⅱ)由椭圆的方程可知
.
若直线的斜率不存在,则直线
方程为
,
所以.
则直线的方程为
,直线
的方程为
.
令,得
,
.
所以两点的纵坐标之积为
.
若直线的斜率存在,设直线
的方程为
,
由得
,
依题意恒成立.
设,
则.
设,
由题意三点共线可知
,
所以点的纵坐标为
.同理得点
的纵坐标为
.
所以
综上,两点的纵坐标之积为定值.
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