题目内容
【题目】已知函数在区间
上的最大值为
,最小值为
,记
(1)求实数、
的值;
(2)若不等式成立,求实数
的取值范围;
(3)对于任意满足的自变量
,
,
,
,
,
,如果存在一个常数
,使得定义在区间
上的一个函数
,有
恒成立,则称
为区间
上的有界变差函数,试判断
是否区间
上的有界变差函数,若是,求出
的最小值;若不是,请说明理由.
【答案】(1),
(2)
(3)是有界变差函数;
的最小值为
【解析】
(1)由的对称轴
得
在区间[
上是增函数,得方程组求出
,
即可;(2)由(1)求出
的表达式,解不等式求出即可;(3)由
的表达式得
为
上的单调递增函数,根据有界变差函数的概念判断即可.
(1),
又,
在区间
上是增函数,
故,
,
解得:,
.
(2)由(1)得:,
故是偶函数,
不等式
可化为
,
解得:.
(3),
为
上单调递减,
上的单调递增函数,
则对于任意满足的自变量
,
,
,
,
,
有
,
存在常数
,使得
.
函数为区间
上的有界变差函数.即
的最小值为
.
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