Question

（本小题满分16分）
已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*）.
（1）试求出S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表达式；                  
（2）用数学纳法证明你的猜想，并求出a_n的表达式.                 

Answer 1

（1）S₁=a₁=1.S₂=，S₃==，S₄=，猜想S_n=（n∈N^*）. 
（2）见解析

本题主要考查了数列的递推式．数列的递推式是高考中常考的题型，涉及数列的通项公式，求和问题，数列与不等式的综合等问题．
（1）先根据数列的前n项的和求得S₁，S₂，S₃，S₄，可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出Sn．
（2）利用a_n=S_n-S_n-1，整理出an的递推式，进而用叠乘法求得a_n．
（1）解 ∵a_n=S_n-S_n-1（n≥2）
∴S_n=n²（S_n-S_n-1），∴S_n=S_n-1（n≥2）
∵a₁=1，∴S₁=a₁=1.
∴S₂=，S₃==，S₄=，                    ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
猜想S_n=（n∈N^*）.                      ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
（2）证明 ①当n=1时，S₁=1成立.
②假设n=k（k≥1,k∈N^*）时，等式成立，即S_k=，
当n=k+1时，
S_k+1=（k+1）²·a_k+1=a_k+1+S_k=a_k+1+，           
∴a_k+1=，
∴S_k+1=（k+1）²·a_k+1==，
∴n=k+1时等式也成立，得证.
∴根据①、②可知，对于任意n∈N^*，等式均成立.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分
又∵a_k+1=，∴a_n=.              ┄┄┄┄┄┄┄┄┄16分