Question

【题目】如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)由题意得所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．

由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，

则直线l1的方程为y＝kx－1.又圆C2：x2＋y2＝4，

故点O到直线l1的距离d＝，所以|AB|＝2＝2.

又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.由

消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，

故x0＝－.所以|PD|＝.

设△ABD的面积为S，则S＝|AB|·|PD|＝，

所以S＝≤，

当且仅当k＝±时取等号．所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.