题目内容
【题目】如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：
+
=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
(1)由题意得
所以椭圆C1的方程为
＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．
由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，
则直线l1的方程为y＝kx－1.又圆C2：x2＋y2＝4，
故点O到直线l1的距离d＝
，所以|AB|＝2
＝2
.
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.由
消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，
故x0＝－
.所以|PD|＝
.
设△ABD的面积为S，则S＝
|AB|·|PD|＝
，
所以S＝
≤
，
当且仅当k＝±
时取等号．所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.
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