题目内容
【题目】以直角坐标系xOy的原点为极坐标系的极点,x轴的正半轴为极轴.已知曲线的极坐标方程为
,P是
上一动点,
,Q的轨迹为
.
(1)求曲线的极坐标方程,并化为直角坐标方程,
(2)若点,直线l的参数方程为
(t为参数),直线l与曲线
的交点为A,B,当
取最小值时,求直线l的普通方程.
【答案】(1),
(2)
【解析】
(1)设点P,Q的极坐标分别为,
),利用
这一关系,可得Q的极坐标方程,再化成普通方程,即可得答案;
(2)设点A,B对应的参数分别为,
,则
,将直线l的参数方程
,(
为参数),代入
的直角坐标方程,利用韦达定理,从而将问题转化为三角函数的最值问题,求出此时的
值,即可得答案.
(1)设点P,Q的极坐标分别为,
),
因为,
所以曲线的极坐标方程为
,
两边同乘以ρ,得,
所以的直角坐标方程为
,即
.
(2)设点A,B对应的参数分别为,
,则
,
将直线l的参数方程,(
为参数),
代入的直角坐标方程
中,整理得
.由根与系数的关系得
.
∴,( 当且仅当
时,等号成立)
∴当取得最小值时,直线l的普通方程为
.
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