题目内容
【题目】已知抛物线
，过点
的直线
交
于
，
两点，且满足以线段
为直径的圆，圆心为
，且过坐标原点
.
（1）求抛物线的方程；
（2）若圆过点
，求直线的方程和圆的方程.
【答案】（1）
（2）当
时，
，
，当
时，
，
【解析】
（1）依题意得，直线
过点
，可设
，与抛物线联立，写出韦达定理，再根据圆的性质得出
，代数化简求出
，即可得出抛物线的方程；
（2）因为圆
的直径为
，且过点
，由圆的性质得出
，结合（1）中的韦达定理，代数化简求得
的值，因此得出直线的方程和圆的方程.
（1）设
，
，，
联立方程有
，
，
，
，
又以线段为直径的圆，圆心为，且过坐标原点
，
有，
，有
，即抛物线
的方程为.
（2）由（1）可得
，
，
，
由圆过点，可得，
故
，
故（1）可得
，
，可得
，
解得或者，
当时，，，
当时，，
.
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