题目内容
【题目】设数列的前
项和为
,对于任意的
,都有
.
(1)求数列的首项
及数列的递推关系式
;
(2)若数列成等比数列,求常数
的值,并求数列
的通项公式;
(3)数列中是否存在三项
、
、
,它们组成等差数列?若存在,请求出一组适合条件的项;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),
;(2)
,
的通项公式为
,
;(3)不存在满足条件的三项,理由见解析.
【解析】
(1)由递推公式求解;
(2)利用递推公式可得,利用等比数列的定义可求
;
(3)假设存在、
、
成等差数列,则
,结合(1)中的通项公式进行推理.
(1)对于任意的,都有
.
令,则
,解得
;
当时,则
,
化简得,即
,
故数列的递推公式为
;
(2)由(1)知,,则
,
由题意,故当
,且
时,数列
是等比数列,
所以,当时,数列
成等比数列.
此时,,故
,即
,
.
综上,,数列
的通项公式为
,
;
(3)假设、
、
成等差数列,则
,
即,所以
,从而
,
因为、
、
且
,故
为偶数,而
为奇数.
所以,不可能成立,即不存在满足条件的三项.
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