题目内容
5.已知$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$是平面内两个不共线的非零向量,$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$,$\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{e_1}+λ\overrightarrow{e_2}$,$\overrightarrow{EC}=-2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$,且A,E,C三点共线(1)求实数λ的值;若$\overrightarrow{e_1}=(2,1),\overrightarrow{e_2}$=(2,-2),求$\overrightarrow{BC}$的坐标;
(2)已知点D(3,6),在(1)的条件下,若A,B,C,D四点构成平行四边形ABCD,求点A的坐标.
分析 (1)通过几何法将向量转化为两向量的和,再将所得向量坐标化,即可得正确结论;
(2)由已知几何条件得到向量间关系,再坐标化得到A点的坐标,即本题答案.
解答 解:(1)∵$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$(2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2})}$+($-\overrightarrow{{e}_{1}}+λ\overrightarrow{{e}_{2}})+)(2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$═$\overrightarrow{{e}_{1}}+(1+λ)\overrightarrow{{e}_{2}}$,
∵A,E,C三点共线,∴存在实数k,使得 $\overrightarrow{AE}$=k$\overrightarrow{EC}$.
即 $\overrightarrow{{e}_{1}}+(1+λ)\overrightarrow{{e}_{2}}$=$-2k\overrightarrow{{e}_{1}}+k\overrightarrow{{e}_{2}}$,
得(1+2k)$\overrightarrow{{e}_{1}}$=(k-1-λ)$\overrightarrow{{e}_{2}}$.
∵$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$是平面内两个不共线的非零向量,
∴$\left\{\begin{array}{l}1+2k=0\\ λ=k-1\end{array}\right.$,
解得k=-$\frac{1}{2}$,λ=-$\frac{3}{2}$.
$\overrightarrow{e_1}=(2,1),\overrightarrow{e_2}$=(2,-2),
∴$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{EC}$=-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).
(2)∵A、B、C、D四点构成平行四边形,
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BC}$.
设A(x,y),则 $\overrightarrow{AD}$=(3-x,6-y),
又 $\overrightarrow{BC}$=(-7,-2),
∴$\left\{\begin{array}{l}3-x=-7\\ 6-y=-2\end{array}\right.$,
解得 $\left\{\begin{array}{l}x=10\\ y=8\end{array}\right.$,
∴点A(10,8).
点评 本题考查的是平面向量的坐标运算,有一定的思维量,属于中档题.