题目内容
10．已知数列{an}满足a1=1，an=1-$\frac{1}{4{a}_{n-1}}$（n≥2），设bn=$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$．（1）求证：数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
分析 （1）通过an=1-$\frac{1}{4{a}_{n-1}}$、bn=$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$作差、计算可知bn+1-bn=1，进而可知数列{bn}是以首项、公差均为1的等差数列；
（2）通过（1）可知bn=n，通过$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$=n可知an=$\frac{n+1}{2n}$．
解答 （1）证明：依题意，bn+1-bn=$\frac{1}{2{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$
=$\frac{1}{2（1-\frac{1}{4{a}_{n}}）-1}$-$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$
=$\frac{1}{1-\frac{1}{2{a}_{n}}}$-$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$
=$\frac{2{a}_{n}}{2{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$
=$\frac{2{a}_{n}-1}{2{a}_{n}-1}$
=1，
又∵b1=$\frac{1}{2{a}_{1}-1}$=$\frac{1}{2-1}$=1，
∴数列{bn}是以首项、公差均为1的等差数列；
（2）由（1）可知bn=n，
∴$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$=n，
∴an=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{n}$）=$\frac{n+1}{2n}$．
点评 本题考查等差数列的判定及数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．
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