题目内容

11.求函数y=x-1+$\sqrt{{x}^{2}+2x+3}$的值域.

分析 先求得函数的定义域为R,令x+1=t,可得函数y=t+$\sqrt{{t}^{2}+2}$-2,再利用二次函数的性质求得它的值域.

解答 解:由x2+2x+3≥0,求得x∈R,故函数的定义域为R.
令x+1=t,函数y=x-1+$\sqrt{{x}^{2}+2x+3}$=t+$\sqrt{{t}^{2}+2}$-2,
故当t=0时,函数y取得最小值为$\sqrt{2}$-2,显然,当t趋于正无穷大时,y的值趋于正无穷大.
故函数的值域为[$\sqrt{2}$-2,+∞).

点评 本题主要考查二次函数的性质的应用,体现了转化的数学思想,属于中档题.

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