Question

10．如图直三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱长为3，AB⊥BC，且AB=BC=3，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．
（1）求证：无论E在何处，总有CB′⊥C′E；
（2）当三棱锥B-EB′F的体积取得最大值时，求AE的长度．
（3）在（2）的条件下，求异面直线A′F与AC所成角．

Answer 1

分析 （1）先由线线垂直证明线面垂直，再利用线面垂直的性质证明即可．
（2）利用函数求最值的方法，求解最值时符合的条件，确定E，F是AB，BC的中点，再求解．
（3）根据异面直线所成角的定义进行求解即可．

解答 解：（1）连接AC′、BC′，∵BB'C'C是正方形，
∴B′C⊥BC′
又∵AB⊥BC，BB′⊥AB，∴AB⊥平面BB′C′C
∴B′C⊥AB，BC′∩AB=B
∴B′C⊥平面ABC′，
又∵C′E?平面ABC′，
∴B′C⊥C′E
（2）设AE=BF=m，∵直三棱柱ABC-A′B′C′，
∴BB′为三棱锥B-EB′F的高，底面△BEF为直角三角形，
∴三棱椎B′-EBF的体积为$V=\frac{1}{2}m（3-m）≤\frac{{{{（m+3-m）}^2}}}{4}=\frac{9}{8}$．
当$m=\frac{3}{2}$时取等号，故当$m=\frac{3}{2}$，
即点E，F分别是棱AB，BC上的中点时，体积最大，
此时△ABC为正三角形，
则AF=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
（3）由（2）知点E，F分别是棱AB，BC上的中点时，体积最大，
则EF∥AC，
∴∠A′FE为异面直线AC与C′F所成的角；
∵$EF=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，$AF=A'E=\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$，$A'F=\frac{9}{2}$，
∴$|{cos∠A'FE}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查异面直线所成的以及线面垂直的判定与性质，利用定义法是解决本题的关键．