题目内容

设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式;
(2)设数列{bn}的通项公式为bn=
an
an+t
,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.
(1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得
a5+a13=34
3a2=9

a1+8d=17
a1+d=3
解得
a1=1
d=2

故an=2n-1,Sn=n2
(2)由(1)知bn=
2n-1
2n-1+t
.要使b1,b2,bm成等差数列,必须2b2=b1+bm
3
3+t
=
1
1+t
+
2m-1
2m-1+t
,(8分).
移项得:
2m-1
2m-1+t
=
6
3+t
-
1
1+t
=
6+6t-3-t
(3+t)(1+t)

整理得m=3+
4
t-1

因为m,t为正整数,所以t只能取2,3,5.
当t=2时,m=7;当t=3时,m=5;当t=5时,m=4.
故存在正整数t,使得b1,b2,bm成等差数列.
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