Question

20．已知函数y=x²+2ax+1在-1≤x≤2上的最大值是4，求a的值．

Answer 1

分析 先求得其对称轴为x=-a，再分-a＜1、-1≤-a≤2和-a＞2，根据二次函数的单调性分别求得其最大值，由最大值为4，可求得a的值．

解答 解：∵y=x²+2ax+1=（x+a）²+1-a²，
∴其对称为x=-a，开口向上，
当-a＜-1，即a＞1时，在-1≤x≤2上y随x的增大而增大，
∴当x=2时有最大值，最大值为4+4a+1，
∴5+4a=4，解得a=-$\frac{1}{4}$＜1，不符合题意，舍去；
当-1≤-a≤2时，分两种情况，
①当-1≤-a≤$\frac{3}{2}$，即-$\frac{3}{2}$≤a≤1时，对称轴距离x=2远，
∴当x=2时函数有最大值，
∴4+4a+1=4，解得a=-$\frac{1}{4}$，
②当$\frac{3}{2}$≤-a≤2，即-2≤a≤-$\frac{3}{2}$时，对称轴距离x=-1远，
∴当x=-1时函数有最大值，最大值为2+2a，
∴2+2a=4，解得a=1，不符合题意，舍去，
当-a＞2，即a＜-2时，在-1≤x≤2上，y随x的增大而减小，
∴当x=-1时，y有最大值，最大值为2+2a，
∴2-2a=4，解得a=-1＞-2，不符合题意，舍去；
a=-1时，f（x）=x²-x+1=（x-1）²，对称轴x=1∈[-1，2]，可得x=-1时，取得最大值．
综上可知a的值为-$\frac{1}{4}$或-1．

点评 本题主要考查二次函数的单调性和最值，掌握二次函数的单调性是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．